Значения ,если выпадает три десятки

В настольных и ролевых играх часто используют десятигранные кубики (обозначаемые как d10).
Сочетание трёх таких кубиков записывается как 3d10 и даёт случайную величину от 3 до 30.
В этой статье рассматривается, какие значения могут получиться, какова их вероятность и, в частности, что происходит в случае «три десятки» – когда каждый из кубиков показывает 10.

Терминология и базовые понятия

• XdY – запись «X бросков кубика с Y граней». Например, 3d10 – три броска десятигранного кубика.
• Вероятность отдельного исхода – при честном кубике каждая грань имеет одинаковую вероятность 1/Y.
• Сумма бросков – интересующая нас случайная величина, получаемая сложением всех результатов.
• Модификатор – число, прибавляемое к сумме (записывается как XdY+Z).

Одиночный d10

У десятигранного кубика 10 граней, поэтому вероятность любого конкретного результата равна:

П(результат = k) = 1/10 = 10 % (при k = 1…10)

Что значит «три десятки»?

Фраза «выпадает три десятки» может иметь два смысла:

1. Все три кубика показывают 10. Сумма тогда равна 30;
2. Сумма бросков ≥ 30 (т.е. ровно 30, потому что 30 – максимальное значение).

Ниже рассмотрим оба случая.

Вероятность того, что каждый кубик покажет 10

Для одного кубика P(10) = 1/10. Поскольку броски независимы:

P(10 × 3) = (1/10)³ = 1/1000 = 0,1 %

То есть из каждых 1000 наборов бросков в среднем один будет «три десятки».

Вероятность получить сумму 30

Сумма 30 возможна только в случае «три десятки», поэтому вероятность одинаковая – 0,1 %.

Полное распределение суммы при 3d10

Для трёх десятигранных кубиков число возможных комбинаций равно 10³ = 1000.
Суммы могут принимать значения от 3 до 30. Вероятности вычисляються как количество комбинаций, дающих данную сумму, делённое на 1000.

Как считать количество комбинаций

Можно воспользоваться свёрткой (конволюцией) распределений одного кубика.
Для 2d10 получаем «треугольную» форму, а при добавлении третьего кубика получаем более «колоколообразное» распределение.

Таблица вероятностей для 3d10

Сумма 30 имеет 406 комбинаций? Ошибка! Действительно, в таблице выше допущена ошибка – для суммы 30 комбинаций только 1 (10+10+10). Исправим:

Сумма 30 действительно имеет одну комбинацию (10+10+10) и вероятность 0,1 %, что совпадает с расчётом в пункте 3.1.

Краткие выводы о «трёх десятках»

• Вероятность того, что каждый из трёх d10 покажет 10 – 1/1000 = 0,1 %.
• Сумма 30 достигается только в этом случае, поэтому её вероятность та же.
• При обычных бросках 3d10 среднее значение равно 16,5, а дисперсия около 8,25. Это делает «три десятки» крайне редким событием.
• Если в игре важен шанс «супер‑успеха», часто используют именно эту комбинацию (например, в системе World of Darkness – «три десятки» = критический успех).

Как быстро посчитать такие вероятности самостоятельно

Для любых XdY (X бросков Y‑гранного кубика) можно воспользоваться простым алгоритмом:

1. Создать массив prob[1..Y] = 1/Y – распределение одного кубика.
2. Повторять конволюцию X‑1 раз:

   new = {}
   for s in current_distribution:
    for k = 1..Y:
    new[s+k] += current_distribution[s] * (1/Y)
    

3. После X‑й итерации получаем распределение суммы. Количество комбинаций = new[sum] * Yⁿ.

Для небольших X (≤ 5) удобно использовать таблицы, а для больших – написать небольшую программу (Python, JavaScript, Excel).

Применение в игровых системах

• World of Darkness (Vampire, Werewolf и пр.) – «три десятки» = автоматический успех.
• Dungeons & Dragons – 3d10 часто используют для генерации случайных атрибутов (характеристик).
• Системы процентных бросков (d100) – два d10 (десятки + единицы). Если оба показывают 10, получаем 100 % (максимум).